Вероятности в нардах: 36 бросков и счёт пипов

У кубиков нет памяти

Игрок ждёт шестёрку, но вместо неё снова выпадает два и три. Он недовольно смотрит на доску и замечает, что давно не видел большого числа. Через некоторое время появляется уверенность: теперь шестёрка просто обязана прийти. В действительности честные независимые броски не работают как расписание. Если две кости бросаются заново, вероятность появления хотя бы одной шестёрки снова равна 11/36, независимо от того, что случилось в предыдущем ходе.

Меняется другое. За время ожидания соперник мог занять нужный пункт, ваш отстающий ряд мог оказаться заблокированным, а полезный вчера бросок сегодня уже не решает задачу. Поэтому точный разговор о вероятности содержит три отдельных части. Сначала нужно посчитать, какие значения могут выпасть. Затем установить, что по правилам игры разрешено с этими значениями сделать. После этого можно оценивать, выгоден ли выбранный ход.

Под общим названием нарды встречаются разные механики. В длинных нардах нельзя бить чужие шашки; даже одна шашка противника закрывает пункт для посадки. В коротких нардах одинокая шашка соперника является блотом, её можно побить и отправить на бар. Nard Online поддерживает длинные нарды, Tavla Classic и Tavla Modern. В Modern дополнительно используется куб удвоения, но он не заменяет игровые кости. Математическая вероятность броска одинакова, юридические возможности различаются. Для ориентирования полезно открыть сравнение вариантов.

Откуда взялись 36 равноправных клеток

На каждой стандартной кости шесть граней, пронумерованных от одного до шести. Первое значение выбирается из шести возможностей, второе тоже из шести. Всего получается 6 умножить на 6, или 36 упорядоченных пар. Представьте таблицу с шестью строками для первой кости и шестью столбцами для второй. Любая клетка соответствует одному исходу, а при честных независимых костях вероятность каждой клетки равна 1/36.

Бросок два и пять может прийти как (2,5), так и (5,2). Поэтому его вероятность, если порядок костей не важен, составляет 2/36, около 5,56 процента. Для конкретного дубля, например пять и пять, существует только одна клетка (5,5). Его вероятность 1/36, приблизительно 2,78 процента. Разница особенно важна при оценке дебютов, когда игрок надеется получить определённую комбинацию или несколько разных вариантов развития.

Если не учитывать порядок, можно перечислить 21 тип пары. Шесть типов представляют собой дубли, пятнадцать состоят из двух разных чисел. Однако все 21 типа не равновероятны. Смешанная пара встречается двумя порядками, а дубль одним. Делить число подходящих типов на 21 без поправок нельзя. Гораздо проще вернуться к таблице из 36 клеток и считать только те, которые удовлетворяют условию задачи.

Все дубли вместе и один определённый дубль

В таблице шесть клеток с одинаковыми цифрами: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) и (6,6). Вероятность любого дубля равна 6/36, то есть 1/6 или примерно 16,67 процента. Вероятность именно шесть и шесть равна 1/36. Эти два ответа относятся к разным вопросам. Если собеседник говорит, что дубль приходит раз в шесть бросков в среднем, не следует ждать конкретный шестёрочный дубль с той же частотой.

Дубли в нардах важны не только своим шансом появления. Их играют четырьмя перемещениями указанного размера, если правила и позиция позволяют. При выпадении четыре и четыре вы получаете до четырёх отдельных движений по четыре пункта. Это не разрешение переместить одну шашку на шестнадцать пунктов одним воображаемым прыжком через закрытые промежуточные пункты. Каждый элемент хода нужно проверять отдельно. В длинных нардах сохраняются ограничения на снятие шашек с головы.

Посчитаем вероятность хотя бы одного дубля в трёх будущих независимых бросках. Легче начать с противоположного события. Один бросок без дубля имеет вероятность 30/36, или 5/6. Три последовательных броска без дублей имеют вероятность 125/216. Вычитаем это число из единицы и получаем 91/216, примерно 42,13 процента. Это не вероятность выгодной партии и не гарантия нужного дубля. Иногда тот же дубль вынуждает разобрать полезную позицию.

Одна нужная цифра и две полезные цифры

Предположим, на ближайшем ходу вам особенно нужна пятёрка. Шесть исходов показывают пятёрку на первой кости и ещё шесть на второй. Исход (5,5) включён в обе группы, поэтому его необходимо вычесть один раз. Подходящих исходов остаётся одиннадцать. Вероятность увидеть хотя бы одну пятёрку составляет 11/36, около 30,56 процента. Для единицы, двойки, тройки, четвёрки или шестёрки вычисление будет тем же.

Другой пример: помочь могут как пять, так и шесть. На каждой кости есть четыре неподходящие грани: 1, 2, 3 и 4. Если обе кости покажут неподходящие числа, получим 4 умножить на 4, то есть шестнадцать неудач. Из 36 возможных исходов остаются двадцать подходящих. Вероятность получить хотя бы одну пятёрку или шестёрку равна 20/36, примерно 55,56 процента. Но два потенциальных значения не обязательно означают два разрешённых хода на реальной доске.

Иногда игрок говорит, что ему нужна семёрка. На одной кости семёрки нет. Если он подразумевает сумму двух костей, подходят пары 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 с обоими порядками. Всего шесть исходов из 36. Если он подразумевает перемещение шашки на семь пунктов, нужно отдельно проверить промежуточные посадки. При закрытых пунктах даже правильная сумма не даёт законного хода. Разделение этих вопросов предотвращает большую часть ошибок в популярных таблицах вероятностей.

Сначала установите чью нумерацию используете

Для коротких нард в наших примерах номер пункта указывается с точки зрения ходящего игрока. Свой дом занимает пункты от 1 до 6, внешняя половина от 7 до 12, внешняя половина соперника от 13 до 18, дом соперника от 19 до 24. Шашки идут с высоких номеров к низким. Соперник считает те же физические треугольники в обратном порядке. Ваш первый пункт является двадцать четвёртым пунктом соперника.

Стандартная начальная расстановка коротких нард состоит из двух шашек на 24-м пункте, пяти на 13-м, трёх на 8-м и пяти на 6-м. Это схема 2, 5, 3, 5. В длинных нардах все пятнадцать шашек каждого игрока в начале стоят на голове, в противоположных по диагонали углах. Оба игрока движутся против часовой стрелки по физической доске в направлении своего дома. Смешивать эти стартовые картинки недопустимо, поскольку уже первый подсчёт расстояний окажется неправильным.

Рассмотрим две фразы. «Короткие нарды, моя шашка на 13-м пункте, одинокая чужая шашка на моём 8-м». Здесь пятёрка может позволить удар. «Длинные нарды, моя шашка на 13-м, чужая на моём 8-м». Теперь восьмой пункт закрыт и садиться туда нельзя. Физическая геометрия похожа, математическая вероятность появления пятёрки та же, но набор допустимых действий различается. На учебном рисунке всегда указывайте вариант игры и точку зрения для нумерации.

Пипкаунт: длина пути в одном числе

Пипкаунтом называют суммарное расстояние, которое оставшимся шашкам нужно пройти до вывода с доски. Шашка на вашем пункте 13 вносит тринадцать пипов, на пункте 6 вносит шесть. Начальная позиция коротких нард имеет 2 умножить на 24 плюс 5 умножить на 13 плюс 3 умножить на 8 плюс 5 умножить на 6. Это 48 плюс 65 плюс 24 плюс 30, то есть ровно 167 пипов.

Для тренировки возьмите меньшую позицию. В вашем доме две шашки стоят на шестом пункте, три на четвёртом и одна на втором. Сумма равна 2 умножить на 6 плюс 3 умножить на 4 плюс 1 умножить на 2. Получается 26. Теперь передвиньте одну шашку с шестого на третий пункт и снова выполните подсчёт. Пипкаунт уменьшится на три при условии, что перемещение было законным.

Этот показатель удобен для сравнения положения в гонке, но не является готовым процентом победы. В коротких нардах соперник может ударить оставленный блот и заставить шашку возвращаться с бара. В длинных нардах удара нет, зато закрытые пункты нарушают свободное движение. В конце партии шашки могут быть расположены так неудачно, что большая кость фактически тратится на короткое расстояние. Не заменяйте анализ распределения шашек одним красивым числом.

Вероятность прямого удара: только при известных условиях

Представьте короткие нарды с вашей стороны доски. Ваша шашка стоит на пункте 13, одна чужая шашка стоит на вашем пункте 8. От вашей шашки до цели пять пипов. Если выпадет хотя бы одна пятёрка, возникает возможность прямого перемещения 13 к 8 и удара по одинокой шашке. Вероятность наличия пятёрки на костях равна 11/36. Это полезная характеристика подходящих бросков, но ещё не универсальная вероятность успешного удара.

Проверим ограничения. Если ваша шашка находится на баре, сначала необходимо вернуть её в игру. Если соперник успел добавить на пункт 8 вторую шашку, цель уже закрыта. Если другой кубик и обязательность использования обоих значений создают ограничения, запланированная последовательность потребует новой проверки. Вероятность конкретного движения устанавливается для полного положения, а не только по расстоянию между двумя шашками.

Похожая ошибка возникает, когда удар достижим разными цифрами. Допустим, один ваш блот атакует цель на расстоянии трёх пипов, другой на расстоянии пяти. Нельзя просто сложить 11/36 с 11/36, потому что бросок три и пять попал бы в обе группы. Вероятность увидеть хотя бы одну тройку или пятёрку составляет 20/36 до учёта всех правил. Затем нужно исследовать, даёт ли каждый из двадцати исходов законный удар. Сложение процентов без проверки пересечений завышает результат.

Два значения костей и промежуточная посадка

Цель находится в семи пунктах от вашей шашки. Одна кость не может показать семь, поэтому нужно использовать два значения. Сумму семь дают 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4. В таблице 36 исходов для них найдётся шесть клеток. Однако пройти семь пунктов одной шашкой можно лишь тогда, когда последовательное применение обеих цифр даёт разрешённые посадки.

Например, в коротких нардах ваша шашка на пункте 13, чужая одиночная на вашем пункте 6. При броске 3 и 4 можно сначала посадить шашку на пункт 10, затем на пункт 6. Можно попробовать обратный порядок через пункт 9. Если промежуточные пункты закрыты двумя или более чужими шашками, прямого семипунктового перемещения нет. Пустой конечный пункт сам по себе проблему не решит, а если он занят блотом, удар всё равно требует законного пути.

Для точной оценки в сложной позиции полезен полный перебор. Выпишите 36 упорядоченных результатов. Для каждого проверьте допустимые порядки использования костей и обязательные действия, включая вход с бара. Пометьте клетку успешной только тогда, когда хотя бы одна полностью законная последовательность приводит к нужному удару. Каждая клетка учитывается один раз, даже если есть несколько путей. Число помеченных клеток, делённое на 36, и будет условной вероятностью для данной позиции.

Возвращение с бара: проверяемая таблица

В коротких нардах побитая шашка находится на баре до возвращения. Входить она должна в дом противника, прежде чем двигать другие шашки. С точки зрения входящего игрока единица разрешает вход на свой пункт 24, двойка на 23, шестёрка на 19. Пункт занят двумя или более чужими шашками, значит закрыт. Если там только одна чужая шашка, при обычных условиях можно войти с ударом по ней.

Пусть из шести пунктов входа закрыто k. Войти не получится, если обе кости покажут значения, ведущие к закрытым пунктам. Число таких упорядоченных исходов составляет k в квадрате. Поэтому шанс иметь возможность войти хотя бы одной костью равен (36 минус k в квадрате)/36. Расчёт относится к одной шашке на баре и первой возможности входа. Он не гарантирует исполнения всех остальных движений этого хода.

Когда закрыто пять пунктов, свободному входу соответствует только одно значение. Встретить его на любой из двух костей можно в 11 случаях из 36. Когда закрыты все шесть, ни одно значение не позволяет вернуться и ход остальных шашек в этот момент запрещён. Не переносите эту таблицу на длинные нарды. В них шашки не выбиваются, не попадают на бар и никогда не требуют обратного входа после удара.

Голова и блоки в длинных нардах

Длинные нарды используют те же две кости, но задачи движения у них другие. Пятнадцать шашек начинаются на голове. Обычно за ход можно снять с головы одну шашку. В правилах Nard Online описаны особые условия для начальных дублей шесть и шесть, четыре и четыре, три и три, когда шашки соперника иначе мешали бы полностью использовать бросок. Вероятность каждого названного дубля 1/36, однако шанс реального применения исключения зависит от конкретной начальной позиции.

Простой пример показывает разницу вариантов. Ваша шашка находится на своём пункте 17, вы бросаете пятёрку и хотите перейти на пункт 12. На нём стоит одна шашка соперника. Для длинных нард этот пункт закрыт, и такой прямой ход невозможен. Неважно, что пункт не заполнен двумя шашками. В коротких нардах одиночная шашка была бы целью для удара, в длинных она уже полностью препятствует посадке.

Есть также ограничение на шесть последовательных занятых пунктов. По описанию владельца игры, запрещено строить такую стену, если она запирает за собой все пятнадцать шашек противника. Даже если значения костей позволяют физически занять нужный пункт, сам результат может нарушать правило. Поэтому перед расчётом «вероятности построить шестипунктовый блок» следует определить законность конечного положения. Правила длинных нард содержат отдельные пояснения по этому спорному вопросу.

Почему среднее значение не равно сроку окончания партии

Среднее арифметическое значение одной честной кости равно 3,5, а сумма двух костей имеет среднее значение семь. Но в нардах выпавший дубль разыгрывается четырьмя движениями, а не двумя. Поэтому номинальный потенциал движения за бросок, если учитывать правила дублей, больше обычного среднего суммы двух граней. Сумма лицевых значений по всем 36 исходам равна 252 пипам. Два дополнительных движения на каждом дубле добавляют ещё 42 пипа.

Итак, общая номинальная сумма составляет 294, а средний потенциал равен 294/36, то есть 49/6 или около 8,17 пипа. Подчеркнём слово «потенциал». Нельзя считать, что при любом положении шашки продвинутся именно настолько. Закрытые пункты, обязательные действия, ограничения головы и потерянная дистанция при выводе шашек часто сокращают фактически используемое движение.

В коротких нардах к этому добавляется опасность удара, после которого шашке приходится заново проходить часть пути. Поэтому деление стандартных 167 пипов на 8,17 не даёт точного количества ходов до завершения. Даже у двух игроков с одинаковыми суммарными пипами распределение шашек может быть совершенно разным. Один игрок без препятствий выводит шашки, второй вынужден ждать безопасного входа или разбирать блок. Оценка гонки должна включать положение, а не только арифметику.

Вывод шашек: большой бросок не всегда большой прогресс

Когда все пятнадцать шашек оказались в своём доме, в коротких нардах можно приступать к выводу. Допустим, по одной шашке стоят на пунктах 6 и 4. При броске шесть и четыре обе могут быть сняты, если остальные условия выполнены. Теперь представьте, что все оставшиеся шашки расположены только на пунктах 2 и 1. Шестёрка может позволить снять шашку по правилу старшего значения, когда на более высоких пунктах нет шашек, но реальные шесть пипов движения не расходуются.

Подобное называют потерянными пипами при выводе. Их количество зависит от расположения шашек внутри дома и от того, какие броски потребуются. В некоторых позициях сбор шашек по более удобным пунктам заранее уменьшает будущие потери. Но если ещё существует контакт с соперником, безопасность открытых шашек может оказаться важнее экономии двух или трёх пипов. В коротких нардах нельзя оценивать конец игры в отрыве от возможных ударов.

В длинных нардах вывод тоже начинается после сбора всех пятнадцати шашек в своём доме. Поскольку здесь нет ударов, борьба строится вокруг маршрута, закрытых пунктов и распределения шашек. Один и тот же числовой бросок может быть прекрасным для одного расположения и неудобным для другого. При изучении гонки записывайте не только номинальные значения костей, но и реально уменьшившийся пипкаунт после законного хода.

Можно ли по нескольким сериям объявить кости нечестными?

Игрок увидел три дубля подряд и решил, что программа специально подбирает ему необычные числа. Вероятность дубля в каждом независимом броске 1/6, поэтому вероятность дублей в трёх заранее определённых последовательных ходах равна 1/216. Это редкая последовательность, но редкость не является невозможностью. Если записать множество партий с тысячами ходов, где-нибудь непременно найдутся участки, которые будут казаться поразительными.

Чтобы действительно оценивать распределение бросков, нужен заранее определённый способ сбора данных. Следует записывать все наблюдения, а не только неприятные, фиксировать размер выборки, отдельно считать значения костей и использовать подходящие статистические методы. Даже необычное распределение в небольшой выборке не доказывает умысел. И наоборот, фраза «броски выполняются на сервере» сама по себе не означает внешней сертификации случайности.

По информации владельца, Nard Online формирует результаты онлайн-бросков на сервере. Сведения о независимом аудите этой системы в предоставленной спецификации отсутствуют. Поэтому нельзя утверждать, что такая проверка пройдена. В приложении используются виртуальные монеты, которые не имеют денежной стоимости и не обмениваются на реальные деньги. Объяснение вероятностей на этой странице посвящено обучению игре, а не денежным ставкам или обещаниям выигрыша.

Доска и диаграмма должны помогать считать

Классическая доска нард имеет двадцать четыре узких треугольных пункта, по двенадцать на каждой стороне, и центральную перегородку. Её можно изготовить из ореха, дуба, клёна и других материалов. Цвет и декоративные вставки создают характер изделия, но не меняют вероятность исходов двух честных костей. Для обучения гораздо важнее различимый контраст шашек, видимые границы пунктов и понятное направление нумерации.

Когда готовится рисунок удара по блоту, одиночная шашка соперника должна действительно стоять на доступном пункте коротких нард. Когда иллюстрируется длинная игра, изображать шашку на баре было бы ошибкой. Если на схеме показан переход с пункта 13 на 8 по пятёрке, нужно подписать чей это пункт 13 и чей пункт 8. Отсутствие такой информации приводит к ошибкам даже у читателей, которые хорошо поняли формулу 11/36.

Выбирая физическую доску, полезно оценить устойчивость шашек, удобство перемещения и читаемость граней костей. Роскошный материал не даёт большего шанса на дубль. Важны общее правило броска, чистая ровная поверхность и согласие игроков по спорным ситуациям. В сетевой игре уважение проявляется также через корректное использование чата, возможность отключить собеседника и отправить сообщение о нарушении. Словарь нард помогает подписывать элементы доски единообразно.

Пять задач с проверяемыми ответами

Задача первая. Перед броском вам нужен именно дубль четыре и четыре. В таблице 36 клеток подходит только (4,4). Вероятность 1/36. Не путайте её с вероятностью любого дубля, равной 1/6.

Задача вторая. Чтобы открыть нужный ход, требуется хотя бы одна тройка. В строке с первой тройкой шесть клеток, в столбце со второй тройкой тоже шесть. Клетка (3,3) повторяется, её следует вычесть. Ответ 11/36.

Задача третья. Для движения подходят двойка или пятёрка. Неподходящие значения на каждой кости: 1, 3, 4 и 6. Полностью неудачных исходов 16. Значит хотя бы одно нужное значение появляется в 20 случаях из 36.

Задача четвёртая. Одна шашка стоит на баре в коротких нардах, противник закрыл четыре пункта входа. Шестнадцать исходов не позволяют войти, двадцать исходов дают хотя бы одну подходящую кость. Вероятность первоначального входа 20/36.

Задача пятая. С вашего взгляда одна шашка находится на 24-м пункте, две на 8-м и три на 3-м. Пипкаунт равен 24 плюс 16 плюс 9, то есть 49. Здесь не нужно учитывать число шашек соперника, поскольку речь о вашем оставшемся пути.

Лучшее упражнение для двоих выглядит так: один человек отмечает все подходящие значения в таблице бросков, а второй ищет законный ход по правилам выбранного варианта. Если мнения расходятся, уточняют направление движения, обязанность входа с бара и промежуточные пункты. Такой подход развивает не только счёт, но и аккуратность в описании позиции. Именно она отличает полезную вероятность от числа, поставленного без контекста.

Для практики полезно сопоставить расчёты с руководством по игре онлайн, тактикой коротких нард, ответами на частые вопросы, вводным курсом и описанием приложения. Эти материалы помогают каждый раз уточнять, о каком варианте идёт речь, и не превращать отдельную вероятность появления цифры в выдуманную гарантию правильного хода.

Частые вопросы

Сколько исходов дают две кости?

Две честные шестигранные кости дают 36 равновероятных упорядоченных исходов. Если не учитывать порядок, остаётся 21 тип пары, но они не равновероятны.

Какова вероятность любого дубля?

Любой дубль появляется с вероятностью 6/36, то есть 1/6. Конкретный дубль, например пять и пять, имеет вероятность 1/36.

Как часто хотя бы одна кость показывает шестёрку?

Вероятность равна 11/36, приблизительно 30,56 процента. Формула одинакова для каждого определённого числа от одного до шести.

Что измеряет пипкаунт?

Он суммирует расстояния оставшихся шашек от их текущих пунктов до вывода. Стандартная начальная позиция коротких нард содержит 167 пипов.

Семёрка на двух костях всегда позволяет ударить в семи пунктах?

Нет. Между начальным и конечным пунктами должна существовать законная последовательность посадок, а также соблюдаться другие обязательные условия хода.

Каков шанс войти с бара при пяти закрытых пунктах?

Если на баре одна шашка и только один пункт входа открыт, подходящее число появляется хотя бы на одной кости в 11 случаях из 36.

Есть ли в длинных нардах вероятность возвращения с бара?

Нет. Длинные нарды не предусматривают удары и бар. Здесь считают легальные посадки, движение с головы, блоки и вывод шашек.

Почему дубль играет четыре движения?

Таково правило игры: значение дубля используется до четырёх раз при соблюдении всех ограничений, действующих в конкретной позиции.

Означает ли серверный бросок независимый аудит честности?

Нет. Это только описание того, где создаётся результат. Для утверждения о независимой сертификации необходима отдельная подтверждённая информация.

Можно ли по вероятностям гарантировать победу?

Нет. Распределение бросков лишь часть игры. Позиция, стратегия, закрытые пункты, удары и обязанности по использованию костей делают результат неопределённым.

Итог

Надёжная основа вероятностей в нардах состоит из 36 упорядоченных исходов, 21 неупорядоченного типа броска, шести дублей и 11 исходов с заданной цифрой хотя бы на одной кости. Пипкаунт описывает расстояние, а не заранее известный итог партии. Для коротких нард необходимо оценивать удары, вход с бара и разрешённые последовательности. Для длинных нард важно учитывать голову и закрытые пункты. Самая полезная привычка состоит в том, чтобы после счёта костей проверить конкретную доску и не выдавать возможность броска за гарантию хода.